S
SoruCevap
Moduler Aritmetik Hakkında Bilgi
Moduler Aritmetik ile ilgili dersler Moduler Aritmetik Ozellikleri Lys Moduler Aritmetik Dersleri Moduler Aritmetik Cozumu
A TANIM
Herhangi bir A kumesinden A kumesine tanımlanan her fonksiyona birli işlem denir
A Ì B olmak uzere, A x A kumesinden B kumesine tanımlanan her fonksiyona ikili işlem veya kısaca işlem denir
İşemler; + , – , : , x, D ,o,¨ , *, « gibi simgelerle gosterilir
B İŞLEMİN OZELLİKLERİ
A kumesinde D ve * işlemleri tanımlanmış olsun Buna gore, aşağıdaki 7 ozelliği inceleyelim
1 Kapalılık Ozelliği
a, b Î A icin aDb nin sonucu A kumesinin bir elemanı ise, A kumesi Dişlemine gore kapalıdır
2 Değişme Ozelliği
a, b Î A icin, aD b bD a ise, Dişleminin değişme ozelliği vardır
3 Birleşme Ozelliği
a, b, c Î A icin aD (bD c) (Da b) Dc ise,D işleminin birleşme ozelliği vardır
4 Birim (Etkisiz) Eleman Ozelliği
x Î A icin, xD e e Dx x ise, e ye Dişleminin etkisiz elemanı denir
e Î A ise,D işlemine gore A kumesi birim eleman ozelliğine sahiptir
5 Ters Eleman Ozelliği
Dişleminin etkisiz elemanı e olsun
a Î A icin, aD b bD a e olacak bicimde bir b varsa b elemanına işlemine gore a nın tersi denir
a nın tersi b ise genellikle b a–1 biciminde gosterilir
b Î A ise,D xişlemine gore A kumesi ters eleman ozelliğine sahiptir
* Birim elemanın tersi kendisine eşittir
* Tersi kendisine eşit olan her eleman birim eleman olmayabilir
6 Dağılma Ozelliği
a, b, c Î A icin,
a * (bD c) (a * b)D(a* c) ise,
* işlemininDişlemi uzerinde soldan dağılma ozelliği vardır
(aD b) * c (a * c)D(b * c) ise,
* işleminin işlemi uzerinde sağdan dağılma ozelliği vardır
* işleminin D işlemi uzerinde; hem soldan, hem de sağdan dağılma ozelliği varsa * işleminin D işlemi uzerinde dağılma ozelliği vardır
7 Yutan Eleman Ozelliği
x Î A icin, xDi y yDx y olacak bicimde bir y varsa y ye Diişleminin yutan elemanı denir
y Î A ise,D işlemine gore A kumesi yutan eleman ozelliğine sahiptir
Yutan elemanın tersi yoktur Fakat tersi olmayan her eleman yutan eleman değildir
C TABLO İLE TANIMLANMIŞ İŞLEMLER
A kumesinde *¶ işlemi aşağıdaki tablo ile tanımlanmış olsun
imagesmoduleraritmetikhakkindabilgi5b0369989c179
U b * c nin sonucu bulunurken, başlangıc sutununda b, başlangıc satırında c bulunur Bunların kesiştiği bolgedeki eleman, b *c nin sonucudur Buna gore, b * c a dır
U Başlangıc satırındaki ve başlangıc sutunundaki elemanların sonuclarının gorulduğu kısımda A kumesine ait olmayan eleman yoksa A kumesi * işlemine gore kapalıdır
U Sonuclar kısmı, koşegene gore simetrik ise, * işleminin değişme ozelliği vardır
U Tablonun sonuclar kısmında başlangıc sutununun ve başlangıc satırının gorulduğu sutunun ve satırın kesişimin deki eleman etkisiz elemandır
U Yutan eleman hangi elemanla işleme girerse girsin, sonuc kendisine eşit olur Bunun icin, tablonun sonuclar kısmında aynı elemandan oluşan satır ve sutun belirlenir Bulunan yutan elemandır
D
MATEMATİK SİSTEMLER
1 Tanım
A, boş olmayan bir kume olmak uzere, * işlemi A da tanımlı olsun
(A, *) ikilisine matematik sistem denir
2 Grup
A ¹ Æ olmak uzere, A kumesinde tanımlı * işlemi aşağıdaki dort koşulu sağlıyorsa, A kumesi* işlemine gore bir gruptur
1 A, * işlemine gore kapalıdır
2 A uzerinde * işleminin birleşme ozelliği vardır
3 A uzerinde * işleminin birim (etkisiz) elemanı vardır
4 A uzerinde *işlemine gore her elemanın tersi vardır
A uzerinde tanımlı * işleminin değişme ozelliği de varsa (A,*) sistemi değişmeli gruptur
3 Halka
A ¹ Æ olmak uzere, A kumesi uzerinde tanımlı D ve * işlemleri aşağıdaki uc koşulu sağlıyorsa (A, D, *) sistemi bir halkadır
1 (A, D) sistemi değişmeli gruptur
2 A kumesi*işlemine gore kapalıdır
3 *işleminin D işlemi uzerinde dağılma ozelliği vardır
U * işleminin değişme ozelliği de varsa (A, D, *) sistemi değişmeli halkadır
U * işleminin A kumesinde birim (etkisiz) elemanı da varsa (A, D, *) sistemine birim halka denir
Moduler Aritmetik ile ilgili dersler Moduler Aritmetik Ozellikleri Lys Moduler Aritmetik Dersleri Moduler Aritmetik Cozumu
A TANIM
Herhangi bir A kumesinden A kumesine tanımlanan her fonksiyona birli işlem denir
A Ì B olmak uzere, A x A kumesinden B kumesine tanımlanan her fonksiyona ikili işlem veya kısaca işlem denir
İşemler; + , – , : , x, D ,o,¨ , *, « gibi simgelerle gosterilir
B İŞLEMİN OZELLİKLERİ
A kumesinde D ve * işlemleri tanımlanmış olsun Buna gore, aşağıdaki 7 ozelliği inceleyelim
1 Kapalılık Ozelliği
a, b Î A icin aDb nin sonucu A kumesinin bir elemanı ise, A kumesi Dişlemine gore kapalıdır
2 Değişme Ozelliği
a, b Î A icin, aD b bD a ise, Dişleminin değişme ozelliği vardır
3 Birleşme Ozelliği
a, b, c Î A icin aD (bD c) (Da b) Dc ise,D işleminin birleşme ozelliği vardır
4 Birim (Etkisiz) Eleman Ozelliği
x Î A icin, xD e e Dx x ise, e ye Dişleminin etkisiz elemanı denir
e Î A ise,D işlemine gore A kumesi birim eleman ozelliğine sahiptir
5 Ters Eleman Ozelliği
Dişleminin etkisiz elemanı e olsun
a Î A icin, aD b bD a e olacak bicimde bir b varsa b elemanına işlemine gore a nın tersi denir
a nın tersi b ise genellikle b a–1 biciminde gosterilir
b Î A ise,D xişlemine gore A kumesi ters eleman ozelliğine sahiptir
* Birim elemanın tersi kendisine eşittir
* Tersi kendisine eşit olan her eleman birim eleman olmayabilir
6 Dağılma Ozelliği
a, b, c Î A icin,
a * (bD c) (a * b)D(a* c) ise,
* işlemininDişlemi uzerinde soldan dağılma ozelliği vardır
(aD b) * c (a * c)D(b * c) ise,
* işleminin işlemi uzerinde sağdan dağılma ozelliği vardır
* işleminin D işlemi uzerinde; hem soldan, hem de sağdan dağılma ozelliği varsa * işleminin D işlemi uzerinde dağılma ozelliği vardır
7 Yutan Eleman Ozelliği
x Î A icin, xDi y yDx y olacak bicimde bir y varsa y ye Diişleminin yutan elemanı denir
y Î A ise,D işlemine gore A kumesi yutan eleman ozelliğine sahiptir
Yutan elemanın tersi yoktur Fakat tersi olmayan her eleman yutan eleman değildir
C TABLO İLE TANIMLANMIŞ İŞLEMLER
A kumesinde *¶ işlemi aşağıdaki tablo ile tanımlanmış olsun
imagesmoduleraritmetikhakkindabilgi5b0369989c179
U b * c nin sonucu bulunurken, başlangıc sutununda b, başlangıc satırında c bulunur Bunların kesiştiği bolgedeki eleman, b *c nin sonucudur Buna gore, b * c a dır
U Başlangıc satırındaki ve başlangıc sutunundaki elemanların sonuclarının gorulduğu kısımda A kumesine ait olmayan eleman yoksa A kumesi * işlemine gore kapalıdır
U Sonuclar kısmı, koşegene gore simetrik ise, * işleminin değişme ozelliği vardır
U Tablonun sonuclar kısmında başlangıc sutununun ve başlangıc satırının gorulduğu sutunun ve satırın kesişimin deki eleman etkisiz elemandır
U Yutan eleman hangi elemanla işleme girerse girsin, sonuc kendisine eşit olur Bunun icin, tablonun sonuclar kısmında aynı elemandan oluşan satır ve sutun belirlenir Bulunan yutan elemandır
D
MATEMATİK SİSTEMLER
1 Tanım
A, boş olmayan bir kume olmak uzere, * işlemi A da tanımlı olsun
(A, *) ikilisine matematik sistem denir
2 Grup
A ¹ Æ olmak uzere, A kumesinde tanımlı * işlemi aşağıdaki dort koşulu sağlıyorsa, A kumesi* işlemine gore bir gruptur
1 A, * işlemine gore kapalıdır
2 A uzerinde * işleminin birleşme ozelliği vardır
3 A uzerinde * işleminin birim (etkisiz) elemanı vardır
4 A uzerinde *işlemine gore her elemanın tersi vardır
A uzerinde tanımlı * işleminin değişme ozelliği de varsa (A,*) sistemi değişmeli gruptur
3 Halka
A ¹ Æ olmak uzere, A kumesi uzerinde tanımlı D ve * işlemleri aşağıdaki uc koşulu sağlıyorsa (A, D, *) sistemi bir halkadır
1 (A, D) sistemi değişmeli gruptur
2 A kumesi*işlemine gore kapalıdır
3 *işleminin D işlemi uzerinde dağılma ozelliği vardır
U * işleminin değişme ozelliği de varsa (A, D, *) sistemi değişmeli halkadır
U * işleminin A kumesinde birim (etkisiz) elemanı da varsa (A, D, *) sistemine birim halka denir
